41. В чем состоят условия Гаусса-Маркова?

1. Модель линейна по параметрам (коэффициентам), правильно специфицирована, содержит аддитивный случайный член.
2. Объясняющая переменная не коррелированна со случайным членом
3. Математическое ожидание случайного члена равно нулю (E(u_i)=0 для всех i)
4. Случайный член гомоскедастичен (то есть его значение в каждом наблюдении получено из распределения с постоянной теоретической дисперсией: σ²_ui =σ²_u для всех i)
5. Значения случайного члена имеют взаимно независимые распределения (u_i распределен независимо от u_j для всех j≠i).
6. Случайный член имеет нормальное распределение (необязательное, но часто используемое условие).

42. Какой вывод относительно оцениваемого уравнения регрессии можно сделать из

выполнимости условий Гаусса-Маркова? 

МНК-оценка в данном случае является лучшей оценкой в классе линейных.

43. Что произойдет, если по крайней мере одно из условий Гаусса-Маркова не выполняется? 

Если не выполняется 1 и 4 условие, то появляется систематическое смещение; если не выполняется 2 и 3 – оценки становятся неэффективными. В обоих случаях модель некорректна.

44. Можно ли проверить выполнение условий Гаусса-Маркова? Если да, то каким образом? 

Посмотреть на показатели качества коэффициентов регрессии, а также посмотреть на показатели качества уравнения в целом. Нет интерпретации.

45. На основании чего можно судить о вероятном выполнении или невыполнении условий Гаусса-Маркова? 

На основании диаграммы рассеяния, графика остатков. Важно, что случайный член (о котором теорема Гаусса-Маркова) и остатки различны, но их поведение похоже, однако случайный член не наблюдаем, зато остатки легко наблюдаемы. Поэтому мы используем остатки, чтобы судить о свойствах случайного члена.

46. Что означает, что модель линейна по параметрам?

Означает, что модель представляет собой взвешенную сумму параметров, а переменные выступают как веса, иными словами, параметры представлены непосредственно, а не как функции (например, log)

47. Можно ли оценивать методом наименьших квадратов уравнение регрессии без константы?

Нет.

48. В чем состоит роль константы уравнения регрессии?

Роль константы состоит в отражении любой систематической, но постоянной составляющей в зависимой переменной, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии, однако, которая оказывает влияние на исследуемую зависимую переменную. Константа интерпретируется в случае соответствия ее значения здравому смыслу или теоретическим предпосылкам.

49. К чему приводит исключение константы из линейного уравнения регрессии?

Исключение постоянного члена приводит к нарушению одного из условия Гаусса-Маркова (о равенстве нулю мат. ожидания случайного члена)

1. Оценки коэффициентов при переменных искажаются и смещаются

2. t-статистики становятся некорректными

Выводы:

1. За редкими и обоснованными исключениями не следует исключать постоянный член уравнения

2. Не следует полагаться на оценку самого свободного члена

50. В каких случаях исключение константы из уравнения регрессии оправдано?

В том случае если константа незначима в уравнении регрессии.

Исключение постоянного члена всегда должно быть обосновано содержательно экономически

Пример: Анализ затрат

Если постоянные затраты малы, то можно исключить свободный член, получив лишнюю степень свободы

Необоснованное исключение свободного члена приводит к серьезным ошибкам!

51. Что значит, что случайный член регрессии является аддитивным?

Это значит, что случайный член прибавляется к другим составляющим частям регрессии.

52. Зачем используется дополнительное условие нормальности распределения случайного  члена?

Если случайный член и нормально распределен, то так же будут распределены и коэффициенты регрессии. Это условие необходимо для проводения проверки гипотез и определять доверительные интервалы для a и b, используя результаты построения регрессии.

53. Можно ли использовать уравнение регрессии, если условие нормальности распределения случайного члена не выполняется?

Если условие нормальности распределения случайного члена не выполняется, то неверно предполагать, что оценки коэффициентов регрессии имеют совместное нормальное распределение, однако при некоторых условиях регулярности на поведение объясняющих переменных в случае роста числа наблюдений оценки коэффициентов регрессии имеют асимптотически нормальное распределение. Следовательно, уравнение регрессии использовать можно (по Магнусу).

54. Какие изменения нужно внести в анализ регрессии, если известно, что предположение о нормальности распределения случайного члена регрессии не является справедливым?

Отказаться от использования тестов. Сами оценки регрессии остаются лучшими.